Para demonstrar o teorema de Tales devemos recorrer a definição do teorema fundamental da proporcionalidade, onde um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. Assim, dados o feixe de paralelas r, s e t e as transversais a e b, temos:
Num triângulo qualquer, se uma reta paralela a um dos lados deste triângulo corta os outros dois lados em pontos distintos, então ela os divide na mesma razão. Em outras palavras, seja um triângulo ABC, uma reta r paralela ao lado BC a qual intersecciona os lados AB e AC, respectivamente, nos pontos D e E, então:
Exemplo 1: Sejam as retas r, s e t tais que r // s // t. Vamos determinar a medida dos segmentos
___ ___
AB e BC da figura abaixo:
Para resolver esta equação podemos escolher dois entre os três termos acima na igualdade, por exemplo:
Exemplo 2: Agora, considere três terrenos que estão entre duas ruas, A e B. Sabendo que as medidas de cada terreno de frente a rua A são 40 m, 30 m e 20 m, vamos determinar a medida de cada terreno para a rua B sabendo que a frente para essa rua tem 180 m. Vamos ilustrar segundo o nosso problema um esboço dos terrenos:
Teorema de Tales no círculo
Existe ainda um caso especial do teorema de Tales a partir da definição do teorema do ângulo inscrito. Seja um triângulo qualquer ABC inscrito em uma circunferência, se a medida BC¯¯¯¯¯¯¯¯ for o diâmetro desta circunferência, então os pontos A, B e C formam um triângulo rectângulo. Veja a figura abaixo:
